Купец и волшебные врата (сборник) - Страница 40

— Нет. Тут нет никаких запрещенных операций, никаких некорректно заданных условий, никаких независимых аксиом, которые бы подразумевались имплицитно, ничего. В доказательстве не использовано решительно ничего запретного.

Карл покачал головой.

— Подожди-ка. Очевидно, что единица не равна двум.

— Но формально равна — доказательство ты держишь в руке. Все мною использованное — в рамках абсолютно бесспорных утверждений.

— Но ты получила противоречие.

— Вот именно. Арифметика как формальная система является неполной.

6b

— Ты не можешь найти, где ошибка, это ты хочешь сказать?

— Да нет же, ты не слушаешь, Ты думаешь, я мечусь из-за такой малости? В доказательстве ошибки нет.

— Иными словами, ошибка в том, что считается общепринятым?

— Точно.

— Ты… — Он остановился, но слишком поздно. Она поглядела на него враждебно. Ну конечно, она уверена. Он задумался о том, что это подразумевает.

— Теперь понимаешь? — спросила Рене. — Я опровергла большую часть математики. Иными словами, она утратила смысл.

Она становилась все более возбужденной, почти пришла в смятение.

— Как ты можешь такое говорить? — Карл тщательно подбирал слова. — Математика все еще работает. Наука и экономика не рухнут вдруг из-за этого открытия.

— Это потому, что математика, которой они пользуются, всего лишь трюк. Мнемонический костыль, как считать костяшки пальцев, чтобы определить, в каком месяце тридцать один день.

— Но это не одно и то же.

— Почему же? Сейчас математика не имеет к реальности решительно никакого отношения. Куда там такие понятия, как мнимые числа и бесконечно малые величины! Теперь треклятое сложение целых чисел не имеет отношения к счету на пальцах. На пальцах один плюс один всегда выходит два, но на бумаге я могу дать бесконечное число ответов, и все они будут равно действительными и, следовательно, равно недействительными. Я могу написать самую элегантную теорему на свете, а значить она будет не больше, чем какое-нибудь дурацкое уравнение. — У нее вырвался горький смешок. — Позитивисты раньше говорили, что вся математика чистой воды тавтология. Они все напутали: она чистой воды противоречие.

Карл попытался зайти с другой стороны.

— Подожди. Ты только что упомянула мнимые числа. Почему твои выкладки хуже их? Когда-то математики считали, что они не имеют смысла, а сейчас они приняты как азы. Ситуация та же.

— Не та же! Там решение заключалось в расширении контекста, а здесь это ничего не даст. Мнимые числа привнесли в математику нечто новое, а мой формализм пересматривает уже существующее.

— Но если изменить контекст, посмотреть на это в другом свете…

Она закатила глаза.

— Нет! Это следует из аксиом с такой же непреложностью, как сложение; это никак не обойдешь. Поверь моему слову.

7

В 1936 году Герхард Гентцен привел доказательство полноты арифметики, но для этого ему пришлось прибегнуть к некоему спорному методу, известному как бесконечная индукция. Эта последняя не относилась к обычным методам доказательства и казалась мало уместной как гарантия непротиворечивости арифметики. Гентцен всего лишь доказал очевидное, допустив сомнительное.

7a

Из Беркли позвонил Каллаган, но не смог предложить избавления. Он сказал, что и дальше будет изучать ее работу, но, похоже, она наткнулась на что-то фундаментальное и тревожное. Он хотел знать, планирует ли она опубликовать свой теоретический формализм, поскольку если он содержит ошибку, которую не может найти ни один из них, в математическом сообществе обязательно отыщутся те, кто сможет.

Рене едва в силах была слушать его голос и пробормотала, что еще с ним свяжется. В последнее время, особенно после ссоры с Карлом, ей стало трудно разговаривать с людьми. Остальные на факультете начали ее избегать. Она не могла ни на чем сосредоточиться, а прошлой ночью ей приснился кошмар, в котором она открыла формализм, позволяющий переводить произвольные утверждения в математическое выражение, и тогда она доказала, что жизнь эквивалентна смерти.

Вот это ее напугало: возможность того, что она теряет рассудок. Она определенно утратила ясность мысли, то есть уже подошла достаточно близко.

«Ну что ты за идиотка, — одернула она себя. — Разве Гёдель покончил с собой, доказав свою Теорему о неполноте?»

Но это была красивая, вдохновенная, одна из самых элегантных теорем, какие Рене когда-либо видела.

Ее собственное доказательство насмехалось над ней, издевалось. Как головоломка в детской книжке, она говорила: «Вот тебе, ты проглядела ошибку, посмотрим, сумеешь ли ты найти, где облажалась, — а потом поворачивалась и говорила: — Опять попалась».

Она воображала, как Каллаган обдумывает, какие последствия будет иметь ее открытие для математики. Большая часть математики не имела практического применения: она существовала исключительно как формальная теория, которой занимаются ради ее интеллектуальной красоты. Но это так не останется: теория, которая внутренне противоречива, настолько бессмысленна, что большинство математиков с отвращением ее отбросят.

Впрочем, по-настоящему приводило Рене в ярость то, что ее предала собственная интуиция. Проклятая теорема имела смысл, на собственный извращенный лад воспринималась как праведная. Рене ее понимала, знала, почему она истинна, верила в нее.

7b

Карл улыбнулся, вспомнив ее день рождения.

«Глазам своим не верю! Откуда ты мог знать?»

Она сбежала по лестнице, прижимая к груди свитер.